小燕文学

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第736章 玄极（第1页）

第?日，全体实数在这一天同时诞生，构成了一个体量为不可数无限的宇宙。

标准分析中用于定义实数的方法是戴德金分割，用两个有限的有理数之间的空隙去定义实数。

按照康威创造的规则，定义13的两个数集分别是左集{o。o1，o。o1o1，…}，右集取{o。1，o。11，…}。

其中o。o1是分数14，o。1则是分数12。

左右两个数集中的每一个数都是二进制下的分数，就像是切割那根万世不竭的木棍一样，不断地将数轴分割成两半。

随着无止尽的切割，两个集合中的数越来越多，数轴剩余的长度则越来越短。

最终在无穷次步骤过后，左集和右集中都包含了无限个数，创造出了13。

类似的，根号2和π等无理数也可以用这种方式定义。

这种处理方式与康托尔处理实数的方式如出一辙。

在研究实数集合时，为了保证每一个数都有唯一的写法，康托尔将1、o。5这类数字都表示成了o。999…、o。4999…等等与无理数一致的形式。

“好熟悉的感觉。”

阿基里斯低头看了看挂在自己胸前的粉白色螺旋钥匙。

康威创造实数宇宙的过程就像是一台芝诺机。

第一天花费了1秒，创造了2个数字。

第二天花费了12秒，创造了4个数字。

第3天花费了14秒，创造了8个数字。

但普通的芝诺机只能处理一个无穷序列。

康威创造的实数宇宙是芝诺机的升级版，应该称它是二星芝诺机。

到这里为止，这种用两个数集定义一个数的规则并不会比普通的规则多出什么新的有趣之处，反而显得多此一举，极为麻烦。

“?日，实数诞生，宇宙现形。”

“但康威却并没有就此停下。”

阿基里斯注视着石头上显现出来的规则，在这条规则的下方还有未尽之语。

『后出一无穷数，不及玄极。逝日无穷，由是无穷亦高下有序也。』

所谓玄极，指的就是无穷。

不及玄极，也就是比无穷大更小，但却仍旧是无穷的数。

在普通集合论公理规则定义的基数和序数中，并不存在这样的数。

“实数，用这种新的规则可以定义原本只能用基数和序数衡量的无限大数？”

在标准的数学体系中，差别最大的就是有限与无限。

自然数、有理数、实数，虽然它们本身的元素数量都是无限的，甚至还分为可数无限和不可数无限两种类型。

但这两种无限都只能使用集合论的方式来描述，用基数和序数衡量，与人类日常使用的数之间没有关系。

无论是基数运算中的?o+?o=?o、?ox?o=?o，还是序数运算中的1+=＜+1、2＝

两者的运算方式对于普通的有限数而言都显得很奇怪。

无限就像是一个幽灵，无论是无穷大还是无穷小，都游离在人类常识的世界之外。

“在遇到无限的时候，用一对互斥的数集定义一个数的方式就显得有意思起来了。”

李恒来到了这块记录着公理规则的漆黑大石头前。

“13这个数是由两个数集定义的，并且它们都是包含了可数无限个元素的无穷集合。”

“既然可以用两个包含了无限个元素的无穷集合定义一个实数，那当然也可以把其他的无穷集合取作左集和右集。”

“比如说，在左集中放入全体自然数，创造一个比所有的自然数都更大的数。”

有了这种用两个集合定义一个数的基本规则，无限大数就是一个显而易见的结果。

在第?日，康威不仅创造出了全体实数，同时还创造出了不在实数域中的实数。

无限大数=｛1，2，3…｝丨?

左集是全体自然数的集合，右集是虚无的空集。

以及与无限大同时诞生的负无限大。

－=?丨｛-1，-2，-3…｝

这里的不同于用同样的符号表示的穷序数，而是一个可以进行普通加减运算的具体的数，就像是1、2等等自然数一样。

全新的数轴向着左右两侧无限延伸。